Poisson 过程及其推广

2.1 时齐 Poisson 过程

2.1.1 定义与说明

定义 若随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 满足以下条件, 则称为 时齐 Poisson 过程.

1. 是计数过程, 且 $N(0)=0$$N(0) = 0$.

2. 是独立增量过程.

3. 具有增量平稳性, 即

   $$\mathrm{\forall }s,t\ge 0,n\in \mathbb{N}:P[N(s+t)-N(s)=n]=P[N(t)=n].$$

4. 对任意 $t>0$$t > 0$ 和充分小的 $\mathrm{\Delta }t>0$$\Delta t > 0$, 有

其中 $\lambda >0$$\lambda > 0$ 称为 强度常数.

备注

• $P\{N(t+\mathrm{\Delta }t)-N(t)=0\}=1-\lambda \mathrm{\Delta }t-\mathit{o}(\mathrm{\Delta }t)={\text{e}}^{-\lambda \mathrm{\Delta }t}+\mathit{o}(\mathrm{\Delta }t)$$P\Bqty{N(t + \Delta t) - N(t) = 0} = 1 - \lambda \Delta t - \omicron(\Delta t) = \e^{-\lambda \Delta t} + \omicron(\Delta t)$.

• 时齐 Poisson 过程常简称为 Poisson 过程或 Poisson 流, 缩写为 P.P.

• 若不满足增量平稳性, 则称为非时齐 Poisson 过程.

• 若不满足增量独立性, 则称为非独立 Poisson 过程.

• Bernoulli 过程是 Markov 链, Poisson 过程是连续参数 Markov 过程.

2.1.2 与 Poisson 分布的关系

定理 2.1.1 若 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程, 则

即 $N(t+s)-N(s)\sim P(\lambda t)$$N(t + s) - N(s) \sim P(\lambda t)$.

定理 2.1.1' 随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 可用以下条件等价定义为时齐泊松过程,

1. 是计数过程, 且 $N(0)=0$$N(0) = 0$.

2. 是独立增量过程.

3. $\mathrm{\forall }s,t\ge 0,N(s+t)-N(s)\sim P(\lambda t)$$\forall s, t \ge 0, N(s + t) - N(s) \sim P(\lambda t)$.

2.2 Poisson 过程与指数分布

2.2.1 发生时间的概率分布

对于计数过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$, 定义随机变量

于是下列事件等价

若该计数过程是时齐 Poisson 过程, 则 $S_n$$S_n$ 的分布函数与概率密度函数为

备注 实际上 $S_n\sim \mathrm{Ga}(n,\lambda )$$S_n \sim \mathrm{Ga}(n, \lambda)$ (Gamma 分布).

2.2.2 与指数分布的关系

定理 2.2.1 计数过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是 Poisson 过程的充要条件是 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $E(\lambda )$$E(\lambda)$.

备注 由定理的证明过程可知, $(S_1,S_2,\cdots ,S_n)$$(\soneto{S}{n})$ 的 j.p.d.f. 为

2.3 剩余寿命与年龄

2.3.1 剩余寿命与年龄及其分布

定义 对于计数过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$, 定义

• 剩余寿命: $W(t)=S_{N(t)+1}-t$$W(t) = S_{N(t) + 1} - t$.

• 年龄: $V(t)=t-S_{N(t)}$$V(t) = t - S_{N(t)}$.

定理 2.3.1 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是参数为 $\lambda$$\lambda$ 的 Poisson 过程, 则

1. $W(t)\sim E(\lambda )$$W(t) \sim E(\lambda)$, 即

   $$P\{W(t)\le x\}=(1-{\text{e}}^{-\lambda x})I_{\{x\ge 0\}}.$$

2. $V(t)$$V(t)$ 是截尾指数分布, 即

   $$\begin{array}{c}P\{V(t)\le x\}=\{\begin{array}{ll}1-{\text{e}}^{-\lambda x},& 0\le x<t,\\ 1,& x\ge t.\end{array}\end{array}$$

2.3.2 Poisson 过程等价定义

定理 2.3.2 对于计数过程, 若非负 r.v. $X_n(n\le 1)$$X_n\ (n \le 1)$ 独立同分布 $F(x)$$F(x)$, 则 $\mathrm{\forall }x\ge 0,t\ge 0:$$\forall x \ge 0, t \ge 0:$

定理 2.3.3 (K.L.Chung) 若 $\mathrm{\forall }t\ge 0$$\forall t \ge 0$, 有 $W(t)$$W(t)$ 与 $X_n(n\ge 1)$$X_n\ (n \ge 1)$ 同分布 $F(x)$$F(x)$, 且 $F(0)=0$$F(0) = 0$, 则 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程.

备注 该定理可用于检验 Poisson 过程.

2.4 到达时间的条件分布

2.4.1 引理与顺序统计量

即给定 $N(t)=n$$N(t) = n$ 时, $S_1,S_2,\cdots ,S_n$$\soneto{S}{n}$ 的条件分布.

定理 2.4.1 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是 Poisson 过程, 则

引理 (顺序统计量的分布) 设非负随机变量 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$$\soneto{Y}{n}$ 独立同分布, 密度函数为 $f(y)$$f(y)$, 则其顺序统计量 $Y_{(1)}\le Y_{(2)}\le \cdots \le Y_{(n)}$$Y_{(1)} \le Y_{(2)} \le \cdots \le Y_{(n)}$ 的联合密度函数为

例子 若 $Y_i$$Y_i$ 独立同均匀分布 $R(0,t)$$R(0, t)$, 则其顺序统计量 $Y_{(1)},\cdots ,Y_{(n)}$$Y_{(1)}, \cdots, Y_{(n)}$ 的 j.p.d.f. 为

2.4.2 到达时间的条件分布

定理 2.4.2 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程, 则事件相继发生的时间 $S_1,S_2,\cdots ,S_n$$\soneto{S}{n}$ 在已知 $N(t)=n$$N(t) = n$ 下的条件概率密度为

定理 2.4.3 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为计数过程, 时间间隔 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $F(x)$$F(x)$, 且 $F(0)=0$$F(0) = 0$. 若

则 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程.

定理 2.4.4 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为计数过程, 时间间隔 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $F(x)$$F(x)$, 且 $F(0)=0$$F(0) = 0$. 若 $E[X_n]<\mathrm{\infty }$$E[X_n] < \infty$, 且

则 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程.

备注 这是定理 2.4.3 的弱化版本. 利用以上结果, 检验 Poisson 过程时不需要知道参数 $\lambda$$\lambda$.

2.4.3 Poisson 过程的应用

例 1 设到达火车站的顾客流遵照参数为 $\lambda$$\lambda$ 的 Poisson 流 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$, 火车 $t$$t$ 时刻离开车站, 求在 $[0,t]$$[0, t]$ 到达车站的顾客等待时间总和的期望值.

解

例 2 设一系统在 $[0,t]$$[0, t]$ 内承受的冲击数 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是参数为 $\lambda$$\lambda$ 的 Poisson 流. 第 $i$$i$ 次冲击受的损失为 $D_i$$D_i$, 设 $\{D_i,i\ge 1\}$$\Bqty{D_i, i \ge 1}$ 独立同分布, 与 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 独立. 且损失随时间按负指数衰减, 即 $t=0$$t = 0$ 时损失为 $D$$D$, 在 $t$$t$ 时损失为 $D{\text{e}}^{-\alpha t},\alpha >0$$D\e^{-\alpha t}, \alpha > 0$. 并且损失是可加的, 那么在 $t$$t$ 时刻的损失之和为

其中 $S_i$$S_i$ 为第 $i$$i$ 次冲击到达的时刻. 试求 $E[\xi (t)]$$E[\xi(t)]$.

解 1

2.4.4 到达时间的函数期望

定理 2.4.5 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是参数为 $\lambda$$\lambda$ 的 Poisson 过程, $S_k,k\ge 1$$S_k, k \ge 1$ 为其到达时刻, 则对任意可积函数 $f$$f$ 有

2.5 模拟、检验与参数估计

2.5.1 Poisson 过程的轨道模拟

下述步骤可得到 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 的一条轨道.

1. 生成随机数 $\{U_n\sim R(0,1),n\ge 1\}$$\Bqty{U_n \sim R(0, 1), n \ge 1}$.

2. 令 $X_k=-{\displaystyle \frac{\ln U_k}{\lambda }}$$X_k = -\dfrac{\ln U_k}{\lambda}$, 则 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同指数分布 $E(\lambda )$$E(\lambda)$.

3. 令 $S_0=0,S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$$S_0 = 0, S_n = \knsum X_k$.

4. 令 $N(t)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{I}_{\{S_n\le t<S_{n+1}\}}}$$N(t) = \nosum n I_\Bqty{S_n \le t < S_{n + 1}}$.

2.5.2 Poisson 过程的假设检验

欲检验 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是否为 Poisson 过程, 可以检验下述问题之一:

1. 检验 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 是否独立同指数分布 $E(\lambda )$$E(\lambda)$.

2. $\mathrm{\forall }t>0$$\forall t > 0$, 检验 $W(t)$$W(t)$ 与 $X_n(n\ge 1)$$X_n (n \ge 1)$ 是否同分布.

3. $\mathrm{\forall }t>0$$\forall t > 0$, 检验在 $N(t)=1$$N(t) = 1$ 时是否有 $S_1\sim R(0,t)$$S_1 \sim R(0, t)$.

4. 给定 $T>0$$T > 0$, 检验在 $N(T)=n$$N(T) = n$ 下是否有 $(S_1,S_2,\cdots ,S_n)\sim R(0,T{)}^n$$(\soneto{S}{n}) \sim R(0, T)^n$ 的次序统计量.

其中最后一种方法最简单, 以此为例:

假设 $H_0:\{N(t),t\ge 0\}$$H_0: \Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是 Poisson 过程.

令 ${\sigma }_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{S}_k}$$\sigma_n = \knsum S_k$, 则当 $H_0$$H_0$ 成立时, 有

于是由中心极限定理, 得

2.5.3 Poisson 过程的参数估计

1 极大似然估计

设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程, 给定 $T$$T$, 若 $N(T)=n$$N(T) = n$ 且 $S_i=t_i(i=1,2,\cdots ,n)$$S_i = t_i\ (i = 1, 2, \cdots, n)$, 则似然函数为

注意上式与 $T$$T$ 有关, 因为 $n$$n$ 是 $T$$T$ 的函数. 令 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\lambda }=0}$$\ddv{L}{\lambda} = 0$, 即得极大似然估计为

2 区间估计

设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程, 对于固定的 $n$$n$, 注意到 $S_n\sim \mathrm{Ga}(n,\lambda )$$S_n \sim \mathrm{Ga}(n, \lambda)$, 于是 $2\lambda S_n\sim {\chi }_{2n}^2$$2\lambda S_n \sim \chi^2_{2n}$.

从而得到 $\lambda$$\lambda$ 的置信度为 $1-\alpha$$1 - \alpha$ 的区间估计为

2.6 非时齐 Poisson 过程

2.6.1 定义与说明

定义 若随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 满足以下条件, 则称为 非时齐 Poisson 过程,

1. 是计数过程, 且 $N(0)=0$$N(0) = 0$.

2. 是独立增量过程.

3. 对任意 $t>0$$t > 0$ 和充分小的 $\mathrm{\Delta }t>0$$\Delta t > 0$, 有

其中 $\{\lambda (t)>0,t\ge 0\}$$\Bqty{\lambda(t) > 0, t \ge 0}$ 称为 强度函数.

备注

• 非时齐 Poisson 若具有增量平稳性, 则为时齐 Poisson 过程.

• $P\{N(t+\mathrm{\Delta }t)-N(t)=0\}=1-\lambda (t)\mathrm{\Delta }t-\mathit{o}(\mathrm{\Delta }t)={\text{e}}^{-\lambda (t)\mathrm{\Delta }t}+\mathit{o}(\mathrm{\Delta }t)$$P\Bqty{N(t + \Delta t) - N(t) = 0} = 1 - \lambda(t) \Delta t - \omicron(\Delta t) = \e^{-\lambda(t) \Delta t} + \omicron(\Delta t)$.

• 定义 $m(t):={\displaystyle {\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s}$$m(t) := \dint_0^t \lambda(s) \ds$.

2.6.2 任意时段的概率分布

定理 2.6.1 若 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是非时齐具有强度函数 $\{\lambda (t)>0,t\ge 0\}$$\Bqty{\lambda(t) > 0, t \ge 0}$ 的 Poisson 过程, 则

2.6.3 时齐与非时齐的转换

定理 2.6.2 时齐 Poisson 过程与非时齐 Poisson 过程可如下相互转化:

1. 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是具有强度函数 $\{\lambda (s)>0,s\ge 0\}$$\Bqty{\lambda(s) > 0, s \ge 0}$ 的非时齐 Poisson 过程. 令 $m(t)={\displaystyle {\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s}$$m(t) = \dint_0^t \lambda(s) \ds$, 并定义反函数

则 $\{M(u)=N(m^{-1}(u))\},u\ge 0$$\Bqty{M(u) = N(m\inv(u))}, u \ge 0$ 是参数为 $\lambda =1$$\lambda = 1$ 的时齐 Poisson 过程.

2. 设 $\{M(u),u\ge 0\}$$\Bqty{M(u), u \ge 0}$ 是参数为 $\lambda =1$$\lambda = 1$ 时齐 Poisson 过程. 若给定强度函数 $\{\lambda (t)>0,t\ge 0\}$$\Bqty{\lambda(t) > 0, t \ge 0}$, 令 $m(t)={\displaystyle {\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s}$$m(t) = \dint_0^t \lambda(s) \ds$, 则 $\{N(t)=M(m(t)),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t) = M(m(t)), t \ge 0}$ 是具有上述强度函数的非时齐 Poisson 过程.

2.7 复合 Poisson 过程

定义 设 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程, 随机变量 $Y_i$$Y_i$ 独立同分布 $Y$$Y$, 且 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 与 $\{Y_i,i\ge 1\}$$\Bqty{Y_i, i \ge 1}$ 独立, 则

称为 复合 Poisson 过程 (Compound Poisson Process).

定理 2.7.1 如上定义, 并设 $Y$$Y$ 的矩母函数为 ${\varphi }_Y(u)$$\phi_Y(u)$, 则 $X(t)$$X(t)$ 的矩母函数、期望与方差分别为

定义 若随机变量序列 $\{{\rho }_i\in {\mathbb{N}}^{+},i\ge 1\}$$\Bqty{\rho_i \in \N^+, i \ge 1}$ 独立同分布, 且与 Poisson 过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 独立, 则

称为 平稳无后效流.

2.8 条件 Poisson 过程

定义 设随机变量 $\mathrm{\Lambda }$$\Lambda$ 的分布函数为 $G(x)(x\ge 0)$$G(x)\ (x \ge 0)$, 且在 $\mathrm{\Lambda }=\lambda$$\Lambda = \lambda$ 时, 计数过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是参数为 $\lambda$$\lambda$ 的 Poisson 过程, 即

则称 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 条件 Poisson 过程.

备注 这里的 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 不是增量独立的过程, 并且有

2.9 更新过程

2.9.1 定义与说明

定义 设取值非负的随机变量 $\{X_k,k\ge 1\}$$\Bqty{X_k, k \ge 1}$ 独立同分布 $F(x)(x\ge 0)$$F(x)\ (x \ge 0)$, 且 $F(0)<1$$F(0) < 1$, 令 $S_n=I_{\{n>0\}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$$S_n = I_\Bqty{n > 0} \knsum X_k$, 则

称为 更新过程, 且 $m(t)=E[N(t)]$$m(t) = E[N(t)]$ 称为 更新函数.

备注

• 若 $F\sim E(\lambda )$$F \sim E(\lambda)$, 则 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是 Poisson 过程.

• 更新过程是计数过程, 并且

  $$\begin{array}{rl}\{N(t)\ge n\}& =\{S_n\le t\},\\ \{N(t)=n\}& =\{S_n\le t<S_{n+1}\}\\ & =\{S_n\le t\}-\{S_{n+1}\le t\}.\end{array}$$

• 记 $S_n$$S_n$ 的分布函数为 $F_n(x)$$F_n(x)$, 则 $F_1(x)=F(x)$$F_1(x) = F(x)$, 并且当 $n\ge 2$$n \ge 2$ 时

  $$\begin{array}{rl}{F}_n(x)& ={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{F}_{n-1}(x-u)\mathrm{d}F(u)}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^x{F}_{n-1}(x-u)\mathrm{d}F(u)}\\ & =(F_{n-1}\ast F)(x).\end{array}$$

• 常见的卷积的定义为 $(f\ast g)(x)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(u)g(x-u)\mathrm{d}u}$$(f * g)(x) = \inti f(u) g(x - u) \dd{u}$, 约定对于分布函数采用上述定义, 对于密度函数采用常见的定义, 于是有

  $$\begin{array}{rl}(F\ast G)(x)& ={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(x-u)\mathrm{d}G(u)}\\ & ={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x-u}f(v)\mathrm{d}v)g(u)\mathrm{d}u}\\ & ={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t-u)\mathrm{d}t)g(u)\mathrm{d}u}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(f\ast g)(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

  因此分布的卷积也满足交换律、结合律与分配律等.

2.9.2 到达时间概率分布的性质

定理 2.9.1

证明

定理 2.9.2

推论 若对 $\mathrm{\forall }t\ge 0:F(t)<1$$\forall t \ge 0: F(t) < 1$, 则

2.9.3 更新函数与更新方程

定理 2.9.3 $\mathrm{\forall }t\ge 0$$\forall t \ge 0$, $m(t)$$m(t)$ 满足下列 更新方程:

定理 2.9.4 $F(t)$$F(t)$ 与 $m(t)$$m(t)$ 是一一对应的, 实际上, 它们的 L-S 变换有如下关系

2.10 若干极限定理与基本更新定理

2.10.1 更新过程的极限定理

定理 2.10.1

备注 由强大数定律即得. 上式又可记作 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{S_n}{n}}=\mu$$\nlim \dfrac{S_n}{n} = \mu$.

推论 1

推论 2

定理 2.10.2

定理 2.10.3 (更新过程强大数定律)

2.10.2 Markov 停时与 Wald 等式

定义 设 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 为随机序列, $T$$T$ 为非负整数随机变量, 若对于 $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$$\forall n \in \N$, 事件 $\{T=n\}$$\Bqty{T = n}$ 仅依赖于 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$$\soneto{X}{n}$, 而与 $X_{n+1},X_{n+2},\cdots$$X_{n + 1}, X_{n + 2}, \cdots$ 独立, 则称 $T$$T$ 关于 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 是 停时 (Stopping time, 或 Markov time).

定理 2.10.4 (Wald 等式) 设 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $X$$X$, 期望 $\mu =E(X_n)<\mathrm{\infty }$$\mu = E(X_n) < \infty$, 且 $T$$T$ 关于 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 是停时, 期望 $E(T)<\mathrm{\infty }$$E(T) < \infty$, 则

例 1 若 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同 $B(n_0,p_0)$$B(n_0, p_0)$, 且 $N\in {\mathbb{N}}^{+}$$N \in \N^+$ 则

关于 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 是停时, 且

例 2 设 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布, 其分布列为

则 $T=min\left\{n|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i=1}\right\}$$T = \min\Bqty{n \ \left|\ \insum X_i = 1 \right.}$ 关于 $\{X_n,n\ge 1\}$$\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 是停时.

当 $p>0.5$$p > 0.5$ 时, 由第三章可知 $E(T)<\mathrm{\infty }$$E(T) < \infty$, 从而 $E(T)={\displaystyle \frac{1}{p-q}}$$E(T) = \dfrac{1}{p - q}$.

当 $p\le 0.5$$p \le 0.5$ 时, $E(X)\le 0$$E(X) \le 0$, 从而 Wald 等式不再成立, 于是 $E(T)=\mathrm{\infty }$$E(T) = \infty$.

推论 当 $E[X_n]=\mu <\mathrm{\infty }$$E[X_n] = \mu < \infty$ 时,

2.10.3 基本更新定理

定理 2.10.5 (基本更新定理)

2.11 更新方程与关键更新定理

2.11.1 更新方程及其定理

定义 设已知函数 $a(t)$$a(t)$ 与分布函数 $F(t)$$F(t)$, 若未知函数 $A(t)$$A(t)$ 满足以下积分方程,

则称之为 更新方程,

定理 2.11.1 设 $a(t)$$a(t)$ 为有界函数, $F(t)$$F(t)$ 为分布函数, 则更新方程的解存在且唯一, 其解在有限区间上有界. 若记

则解 $A(t)$$A(t)$ 可表示为

2.11.2 Blackwill 定理

定义 非负随机变量 $X$$X$ 称为是 格点的 (Lattice), 如果

并且满足上式的最大的 $d$$d$ 称为 $X$$X$ 的 周期.

备注 若 $X$$X$ 是格点的, 则其分布函数 $F$$F$ 是格点的.

定理 2.11.2 (Blackwill 定理) 设 $F(x)$$F(x)$ 为非负随机变量的分布函数,

1. 如果 $F$$F$ 是非格点的, 则

2. 如果 $F$$F$ 是格点的, 且周期为 $d$$d$, 则

2.11.3 关键更新定理

定义 设 $h$$h$ 是定义在 $[0,+\mathrm{\infty })$$\bpqty{0, +\infty}$ 上的函数, 令

若 $\mathrm{\forall }\delta >0$$\forall \delta > 0$, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\underset{―}{m}}_n(\delta )}$$\nsum \underline{m}_n(\delta)$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\bar{m}}_n(\delta )}$$\nsum \overline{m}_n(\delta)$ 有限, 且

则称 $h(t)$$h(t)$ 是 直接 Riemann 可积 的.

备注 单调且绝对可积的函数是直接黎曼可积的.

定理 2.11.3 (关键更新定理) 设 $F$$F$ 是均值为 $\mu$$\mu$ 的非负随机变量的分布函数, $F(0)<1$$F(0) < 1$, 且 $a(t)$$a(t)$ 是直接 Riemann 可积的, $A(t)$$A(t)$ 是下述更新方程的解.

1. 若 $F$$F$ 是非格点的, 则

2. 若 $F$$F$ 是周期为 $d$$d$ 的格点的, 则

推论 1 记剩余寿命 $r_t=S_{N(t)+1}-t$$r_t = S_{N(t) + 1} - t$, 令 $A_z(t)=P\{r_t>z\}$$A_z(t) = P\Bqty{r_t > z}$, 则 $A(t)$$A(t)$ 满足更新方程

且有如下极限

2.11.4 交错更新过程

定义 设随机向量序列 $\{(Z_n,Y_n),n\ge 1\}$$\Bqty{(Z_n, Y_n), n \ge 1}$ 独立同分布, 即 $Z_n$$Z_n$ i.i.d. $Z$$Z$, $Y_n$$Y_n$ i.i.d. $Y$$Y$, 且二者不一定独立. 记 $X_n=Z_n+Y_n$$X_n = Z_n + Y_n$, $S_0=0$$S_0= 0$, $S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$$S_n= \insum X_i$, $N(t)=sup\{n\in \mathbb{N}\mid S_n\le t\}$$N(t) = \sup\Bqty{n \in \N \mid S_n \le t}$, 则 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为更新过程. 记

则称 $\{{\zeta }_t,t\ge 0\}$$\Bqty{\zeta_t, t \ge 0}$ 为 交错更新过程.

定理 2.11.4 设 $H(t),G(t),F(t)$$H(t), G(t), F(t)$ 分别为 $Z_n,Y_n,X_n$$Z_n, Y_n, X_n$ 的分布函数, 且 $P(t)=P\{{\zeta }_t=1\}$$P(t) = P\Bqty{\zeta_t = 1}$, $Q(t)=P\{{\zeta }_t=0\}$$Q(t) = P\Bqty{\zeta_t = 0}$. 若 $E(X_n)<\mathrm{\infty }$$E(X_n) < \infty$, 且 $F$$F$ 非格点, 则

2.11.5 更新报酬过程

定义 设更新过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 的时间间隔 $X_n(n\ge 1)$$X_n\ (n \ge 1)$ 分布为 $F$$F$, 每当一次更新发生时, 得到一个报酬 $R_n\le 0$$R_n \le 0$, 且 $\{R_n,n\ge 1\}$$\Bqty{R_n, n \ge 1}$ 独立同分布. 并设 $\{(X_n,R_n),n\ge 1\}$$\Bqty{(X_n, R_n), n \ge 1}$ 独立同分布, 其中 $R_n$$R_n$ 可以依赖于 $X_n$$X_n$. 则

称为 更新报酬过程.

备注 当更新过程为 Poisson 过程时, 更新报酬过程为复合 Poisson 过程.

定理 2.11.5 若 $E(R)=E(R_n)<\mathrm{\infty },E(X)=E(X_n)<\mathrm{\infty }$$E(R) = E(R_n) < \infty, E(X) = E(X_n) < \infty$, 则

1. $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{R(t)}{t}}={\displaystyle \frac{E(R)}{E(X)}}$$\liml_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t} = \dfrac{E(R)}{E(X)}$.

2. $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{E(R(t))}{t}}={\displaystyle \frac{E(R)}{E(X)}}$$\liml_{t \to \infty} \dfrac{E(R(t))}{t} = \dfrac{E(R)}{E(X)}$.